การบวก
ในฐานะของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การบวกดำเนินตามแบบแผนที่สำคัญบางประการ เช่นการบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าลำดับของการบวกนั้นไม่สำคัญ และการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ นั่นคือเราสามารถบวกกันได้มากกว่าสองจำนวน (ดูเพิ่มที่ ผลรวม) การบวกซ้ำๆ ด้วย 1 มีความหมายเหมือนการนับ ในขณะที่การบวกด้วย 0 จะไม่ทำให้จำนวนเปลี่ยนแปลง นอกจากนี้การบวกยังคล้อยตามกฎเกณฑ์ที่ทำนายได้ เกี่ยวกับการดำเนินการที่เกี่ยวข้องเช่นการลบและการคูณ กฎเกณฑ์ทั้งหมดเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ โดยเริ่มต้นจากการบวกของจำนวนธรรมชาติ แล้วขยายขอบเขตออกไปยังจำนวนจริงและสูงขึ้นไป การดำเนินการทวิภาคทั่วไปที่คล้อยตามแบบแผนเหล่านี้ มีการศึกษาในพีชคณิตนามธรรม
การบวกเป็นหนึ่งในงานที่พื้นฐานที่สุดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนตัวเลข การบวกของจำนวนน้อยๆ สามารถเรียนรู้ได้ตั้งแต่ยังเป็นเด็กเล็ก เด็กทารกอายุห้าเดือนรวมทั้งสัตว์บางชนิดก็สามารถรับรู้ว่า 1 + 1 จะได้ผลอะไร ในการเรียนระดับประถมศึกษา เด็กนักเรียนจะได้เรียนรู้การบวกจำนวนในระบบเลขฐานสิบ โดยเริ่มต้นจากจำนวนเลขหลักเดียว และพัฒนาการแก้ปัญหาในระดับที่ยากขึ้น เครื่องกลที่ช่วยคำนวณการบวกก็แตกต่างกันไปตั้งแต่ลูกคิดโบราณจนไปถึงคอมพิวเตอร์สมัยใหม่ ซึ่งการค้นคว้าวิจัยเกี่ยวกับการบวกที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดยังคงดำเนินมาจนถึงทุกวันนี้
สัญกรณ์และศัพทวิทยา
ปกติการบวกเขียนแทนด้วยเครื่องหมายบวก (+) ใส่ไว้ระหว่างพจน์แบบสัญกรณ์เติมกลาง ผลลัพธ์ของการบวกจะถูกแสดงด้วยเครื่องหมายเท่ากับ (=) ตัวอย่างเช่น1 + 1 = 2 (อ่านว่า หนึ่งบวกหนึ่งเท่ากับสอง)
2 + 2 = 4
5 + 4 + 2 = 11
3 + 3 + 3 + 3 = 12 (ดูเพิ่มที่ การคูณ)
การบวกตามแนวตั้ง 5 + 12 = 17แต่ก็มีบางสถานการณ์ที่สามารถทำให้เข้าใจได้ว่าเป็นการ
บวก แม้จะไม่มีเครื่องหมายบวกอยู่ก็ตาม ตัวอย่างเช่น
จำนวนตัวเลขที่เรียงกันตามแนวตั้ง ซึ่งบรรทัดล่างสุดมีขีดเส้นใต้ ปกติแล้วจำนวนจะถูกจัดวางให้ตรงหลักตามแนวตั้งเพื่อบวกเข้าด้วยกัน และผลบวกจะเขียนไว้ที่ใต้จำนวนสุดท้ายนั้น
จำนวนเต็มที่เขียนต่อด้วยเศษส่วนทันที จะให้ผลหมายถึงสองจำนวนนั้นบวกกันเรียกว่า จำนวนคละ (mixed number) เช่น 3½ = 3 + ½ = 3.5 แต่สัญกรณ์เช่นนี้อาจทำให้เกิดความสับสนกับการคูณที่ไม่แสดงเครื่องหมาย (juxtaposition) ที่มีใช้ในบริบทอื่นๆ
จำนวนหรือวัตถุที่จะบวกเข้าด้วยกันโดยทั่วไปเรียกว่า พจน์ (term) ตัวบวก (addend) หรือ ส่วนของผลบวก (summand) ซึ่งศัพท์คำสุดท้ายนี้นำไปใช้อธิบายผลรวมของพจน์ที่เป็นพหุคูณ ผู้แต่งตำราบางท่านเรียกตัวบวกจำนวนแรกว่า ตัวตั้งบวก (augend) เนื่องจากข้อเท็จจริงในช่วงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ผู้แต่งตำราหลายท่านไม่นับว่าจำนวนแรกในการบวกเป็น "ตัวบวก" แต่ในทุกวันนี้คำว่า "ตัวตั้งบวก" มีการใช้น้อย และทั้งสองคำก็หมายถึงตัวบวกได้เหมือนกัน
การแปลความหมาย
การบวกใช้สำหรับจำลองกระบวนการทางกายภาพได้อย่างนับไม่ถ้วน แม้แต่กรณีที่ง่ายที่สุดของการบวกจำนวนธรรมชาติ ก็มีการแปลความหมายที่เป็นไปได้มากมาย รวมไปถึงการนำเสนอด้วยภาพการรวมกลุ่ม
3 + 2 = 5การแปลความหมายของการบวกในระดับเบื้องต้น สามารถแสดงได้ด้วยการรวมกลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน นั่นคือ
เมื่อวัตถุสองกลุ่มหรือมากกว่าเข้ามารวมกันเป็นกลุ่มเดียว จำนวนวัตถุในกลุ่มเดียวนั้นคือผลรวมของจำนวนวัตถุของแต่ละกลุ่มในตอนแรก การแปลความหมายเช่นนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพ ซึ่งอาจจะมีความกำกวมบ้างเล็กน้อย ความหมายนี้มีประโยชน์ต่อคณิตศาสตร์ในระดับสูงขึ้นไป โดยเฉพาะการนิยามเป็นต้น อย่างไรก็ตามการอธิบายด้วยการรวมกลุ่มอาจให้ความหมายไม่ชัดเจน เมื่อขยายการบวกออกไปบนเศษส่วนหรือจำนวนลบเป็นอาทิ หนทางหนึ่งที่เป็นไปได้ คือการพิจารณาว่ากลุ่มของวัตถุเหล่านั้นสามารถตัดแบ่งได้โดยง่าย เหมือนกับขนมพายหรือท่อนไม้มากกว่าเพียงแค่การรวมกลุ่มของวัตถุเข้าด้วยกัน เราสามารถนำปลายของท่อนไม้มาต่อกัน เพื่อแสดงอีกแนวความคิดหนึ่งของการบวก นั่นคือการบวกไม่ได้นับที่จำนวนท่อนไม้ แต่หมายถึงความยาวรวมของท่อนไม้
การขยายความยาว
2 + 4 = 6การแปลความหมายอย่างที่สองของการบวก มาจากการต่อความยาวขนาดเริ่มต้น ด้วยความยาวอีกขนาดหนึ่ง นั่นคือ
เมื่อความยาวตั้งต้นถูกขยายโดยปริมาณที่ให้มา ความยาวสุดท้ายคือผลรวมของความยาวตั้งต้นกับความยาวของส่วนที่ขยายออกไป ผลบวกของ a + b สามารถแปลผลได้ในฐานะของการดำเนินการทวิภาค (ในความคิดทางพีชคณิต) ว่าเป็นการประสานกันระหว่าง a กับ b หรือหมายถึงการเพิ่มจาก a ไปเป็นจำนวน b สำหรับภายใต้การแปลความหมายอย่างหลัง ส่วนต่างๆ ของผลบวก a + b จึงมีบทบาทโดยไม่สมมาตร อาจมองได้ว่าเป็นการดำเนินการเอกภาค "+b" บน a และกรณีเช่นนี้จะถือว่า a เป็นตัวตั้งบวก แทนที่จะเป็นตัวบวกทั้งคู่ การมองให้เป็นการดำเนินการเอกภาคมีประโยชน์สำหรับอธิบายการลบ เพราะว่าการบวกแบบเอกภาคเป็นตัวผกผัน (inverse) ของการลบแบบเอกภาค และในทางกลับกันด้วย
สมบัติ
สมบัติการสลับที่
4 + 2 = 2 + 4การบวกมีสมบัติการสลับที่ หมายความว่าเราสามารถสลับเปลี่ยนจำนวนที่อยู่ข้างซ้ายและขวาของเครื่องหมายบวกได้ โดยผลลัพธ์ยังคงเดิม สมมติให้ a และ b เป็นจำนวนสองจำนวนใดๆ แล้ว
a + b = b + a
ข้อเท็จจริงว่าการบวกสามารถสลับที่ได้ รู้จักกันว่าเป็น กฎการสลับที่ของการบวก ซึ่งวลีนี้ได้ชี้นำว่า ยังมีกฎการสลับที่อื่นๆ อีก ตัวอย่างเช่นกฎการสลับที่ของการคูณเป็นต้น อย่างไรก็ตามการดำเนินการทวิภาคหลายชนิดก็ไม่มีสมบัติการสลับที่ อาทิการลบหรือการหาร จึงนำไปสู่ความเข้าใจผิดว่า กฎการสลับที่ นั้นไม่มีอยู่จริง
การเปลี่ยนหมู่
2 + (1 + 3) =(2 + 1) +3อีกสมบัติหนึ่งของการบวกคือสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อเราพยายามนิยามการบวกที่ซ้ำๆ กัน อย่างนิพจน์ต่อไปนี้
a + b + c
จะนิยามว่าอย่างไรระหว่าง (a + b) + c หรือ a + (b + c) ในเมื่อการบวกสามารถเปลี่ยนหมู่ได้ ดังนั้นตัวเลือกทั้งสองจึงไม่สำคัญ สำหรับสามจำนวนใดๆ a, b, c ประโยคต่อไปนี้จะเป็นจริง
(a + b) + c = a + (b + c)
ตัวอย่างเช่น (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3) แต่ก็ไม่ใช่ทุกการดำเนินการจะมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ดังนั้นในนิพจน์ที่มีการดำเนินการอย่างอื่นเช่นการลบ การระบุอันดับของการดำเนินการ (order of operations) จึงเป็นสิ่งที่สำคัญ
ศูนย์และหนึ่ง
5 + 0 = 5เมื่อบวกศูนย์เข้ากับจำนวนใด ปริมาณที่ได้ก็จะไม่เปลี่ยนแปลง เนื่องจากศูนย์เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของการบวก หรือเรียกได้ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก สำหรับค่า a ใดๆ จะได้ว่า
a + 0 = 0 + a = a
กฎนี้ปรากฏเป็นครั้งแรกในตำรา พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) เมื่อ ค.ศ. 628 ถึงแม้ว่าเขาจะเขียนกฎนี้แยกออกมาเป็นสามข้อ โดยขึ้นอยู่กับ a ว่าเป็นจำนวนลบ จำนวนบวก หรือเป็นศูนย์ และเขาใช้ถ้อยคำอธิบายแทนการใช้สัญลักษณ์
ในเวลาต่อมา มหวิระ ได้เรียบเรียงแนวความคิดนั้นเสียใหม่เมื่อประมาณ ค.ศ. 830 โดยเขียนไว้ว่า
"...ศูนย์จะทำให้ตัวอะไรก็ตามที่บวกเข้ามามีค่าเช่นเดิม..."
เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค 0 + a = a [5]
และในคริสต์ศตวรรษที่ 12 ภาสกระที่ 2 ก็ได้เขียนเอาไว้ว่า
"...ในการบวกของสิ่งที่ไม่มีค่าหรือการลบของมัน ปริมาณ ไม่ว่าหรือจำนวน
จำนวนลบ จะยังคงเหมือนเดิม..."
เทียบเท่าได้กับการดำเนินการเอกภาค a + 0 = a [5]
ในบริบทของจำนวนเต็ม การบวกด้วยหนึ่งจะทำให้เกิดบทบาทพิเศษ นั่นคือสำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ จำนวน a + 1 จะเป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มากกว่า a หรือเรียกได้ว่าเป็น ตัวตามหลัง (successor) ของ a และเนื่องจากการเกิดตัวตามหลังในกรณีเช่นนี้ ผลของ a + b จึงมองได้ว่าเป็นตัวตามหลังตัวที่ b ของ a ซึ่งเกิดจากการบวกด้วยหนึ่งซ้ำๆ กันหน่วย
เพื่อที่จะบวกปริมาณทางกายภาพซึ่งมีหน่วยกำกับอยู่ ปริมาณเหล่านั้นจะต้องถูกทำให้อยู่ในหน่วยร่วมกันก่อน ตัวอย่างเช่น ระยะความยาว 5 ฟุต และขยายออกไปอีก 2 นิ้ว ผลบวกของความยาวคือ 62 นิ้ว เนื่องจากความยาว 60 นิ้วมีความหมายเหมือนกับความยาว 5 ฟุต ในอีกทางหนึ่ง หน่วยที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ก็จะไม่สามารถรวมกันได้ เช่นการบวกระยะทาง 3 เมตรกับพื้นที่ 4 ตารางเมตร การบวกเช่นนี้จะไร้ความหมาย การพิจารณาว่าหน่วยใดสามารถเปรียบเทียบกันได้ เป็นความรู้พื้นฐานของการวิเคราะห์มิติ (dimensional analysis)
